O Realismo Filosófico

É preciso definir o realismo filosófico para que possamos enxergar a própria matemática desse ponto de vista. Essa corrente da filosofia diz que existem na natureza elementos universais. A natureza está ao nosso redor quando caminhamos e percebemos uma árvore, por exemplo.

Segundo o realismo, essa árvore possui características universais: a sua essência de árvore, o seu conceito, a sua natureza. O meu intelecto capta imediatamente através da percepção essas características que estão dadas no ente que está diante de mim. 

Tal como nas ideias platônicas, o realismo diz que existem essas essências, essas naturezas na realidade, mas estes dois pensamentos se divergem sobre onde se dá a existência dessas essências. Nisso Platão e Aristóteles divergem. 

Segundo Platão, a essência dessas essências e naturezas estão em um reino à parte, o mundo das ideias e das formas platônicas. Já Aristóteles diz que elas estão nas coisas em si, ou seja, existem essas essências enquanto os particulares, aqueles que instanciam essas essências, também existem. Apesar da divergência, ambos são realistas do ponto de vista filosófico. O realismo é defender que as essências tem existência. 

Nesse momento você pode se perguntar sobre a utilidade desse tipo de conhecimento, e pode entender que essa é uma questão muito abstrata e sem importância na sua vida prática. Iremos ver como isso impacta diretamente a sua vida cotidiana, e, na maior parte das vezes, sem que você se dê conta disso.

Para isso, vamos pensar em um conceito muito útil e que impacta a vida de todos nós, que é o conceito de justiça. Se você defende o realismo filosófico, esse conceito de justiça tem existência real, bastando que busquemos essa justiça cada vez mais; se você defende o antirrealismo, o conceito de justiça não tem existência, e isso acaba por relativizá-la.

Portanto o realismo filosófico é de suma importância para a sua vida prática e diária, e impacta de fato as nossas vidas, porque muitas leis são feitas com base em uma cosmovisão filosófica, seja pela via realista ou antirrealista.

Medidas e políticas públicas, por exemplo, são tomadas tendo por base a noção de bem comum. Se esse conceito de bem comum não tem uma natureza ou uma essência própria, não tem, portanto, uma realidade: ele é simplesmente uma coisa antirrealista que eu posso colocar a qualquer momento em uma política pública que se adeque a ela. Portanto, eu falo isso para trazer para vocês que esse debate “realismo versus antirrealismo” é de suma importância, e, para mim, é um dos debates mais importantes para a nossa era. Um dos grandes problemas da nossa era, segundo o meu ponto de vista, é o problema antirrealista.

O que é a Matemática, afinal de contas? O posicionamento que defenderei aqui é o da Matemática desde o ponto de vista realista. Isso quer dizer que quando estamos estudando um objeto da Matemática, estamos estudando uma coisa da realidade, que pode ser de uma forma platônica. 

Assumimos, então, que a Matemática se trata da realidade, e quero propor um experimento de imaginação para vermos esse ponto com mais clareza: imaginemos a Era Jurássica. Estamos no período dos dinossauros, no qual não existia nenhuma mente humana, portanto, não existia nenhuma formulação do que chamamos hoje de Matemática, já que o conceito de número não existia.

Existia de fato cinco espécies de tiranossauros em determinada região? Existia uma relação entre os dinossauros? Esse é um dado daquela realidade que estava presente naquele momento ou é preciso uma mente humana para olhar para aquele universo jurássico e poder enxergar que há cinco espécies de tiranossauros, e enxergar que há uma relação entre eles, que um tiranossauro é maior que o outro, etc.

Todos hão de concordar que esses dados e essas características quantitativas da realidade estavam presentes já naquela época, mesmo não havendo ali nenhuma mente humana. Esse olhar para o passado, sem o homem, garante uma forma de argumentar em favor do realismo na Matemática, porque olhamos para o passado, percebemos e temos certeza de que o número está contido nele, assim como a relação. As estruturas (simetria, razão , etc) estão contidas lá. 

E, mais ainda, você pode retornar até o momento anterior ao Big Bang, pois para uma lei física ser formulada matematicamente é necessário que a lei matemática seja anterior a ela. Ou seja, para que você possa formular a Lei da Gravitação Universal é necessário que você tenha a relação matemática antes disso. A Lei da Gravitação Universal não passa a funcionar porque Newton a colocou daquela forma, surgindo a Matemática depois. Ao contrário, parece que existe um passo anterior, ou seja, um realismo acerca da Matemática, e esse é o posicionamento que eu gostaria que você tivesse acerca dela, ou seja, ela trata de alguma coisa da realidade. Não precisa, nesse momento, se preocupar com qual coisa seria esta, mas ela trata de algo do real: é o que eu sempre digo “Estudar Matemática é estudar a realidade”.

E nesse posicionamento que eu defendo, que é um posicionamento aristotélico-tomista, você tem a Matemática como a ciência da quantidade e da estrutura. A Matemática entra como a ciência que abstrai da quantidade do ente real, ou seja, a formulação dela se dá na abstração do acidente da quantidade no ente real e do acidente da relação, que dá essas estruturas internas, ou na comparação com outros entes. 

Portanto, a Matemática se apresenta para nós como a ciência da quantidade da estrutura, além de ser uma ciência que trata do mundo real, dos seus conceitos e dos seus objetos, que são reais e tem existência real.

As Verdades Matemáticas

A primeira característica dessas verdades matemática é que, se você olha para uma entidade da Matemática, a primeira coisa que você percebe é que ela é imutável, ou seja, nunca irá mudar. Por exemplo, 2 + 2 darão sempre 4.

Outro exemplo: o Teorema de Pitágoras também é válido para qualquer triângulo retângulo que você use. Portanto, há essa característica de imutabilidade. Ou seja, não há mudança uma vez que descobrimos esse ente, mas mesmo antes de descobri-lo, esse dado está em algum lugar e é imutável.

A segunda verdade é que esses entes são atemporais, ou seja, eles não tem dependência temporal. Desse modo, dois mais dois dará sempre quatro independentemente da época em que vivemos, independentemente do transcurso do tempo e de qualquer outra coisa: simplesmente é, ou seja, as verdades da Matemática se apresentam com essas características eternas de atemporalidade, no que nos parece que então fora do tempo e não há dependência do que acontece ao longo de uma linearidade temporal. 

A terceira verdade é que estes entes são perfeitos. A definição de círculo perfeito é tão invejável que nós queremos alcançá-la nas outras ciências. Percebemos na realidade uma mesa circular, por exemplo, e olhando-a detalhadamente notamos que aquela mesa é uma aproximação dessa perfeição, desse conceito de circularidade definido na Matemática. Os objetos da Matemática, portanto, também se apresentam com essa característica de perfeição.

Além disso, também são imateriais. Peguemos o conceito de triangularidade e tentemos imaginá-lo. É possível imaginar o conceito de triangularidade? Não, porque ao imaginar este conceito você está imaginando um triângulo particular, seja ele triângulo isósceles, retângulo ou equilátero, mas não está imaginando o conceito, porque ele é imaterial, independe da matéria. A Matemática se apresenta também com a característica de imaterialidade, pois os objetos são imateriais.

Portanto, os objetos da Matemática são:

• imutáveis;
• atemporais;
• perfeitos;
• imateriais.

As Verdades Necessárias e o Mundo Possível

Por último, as verdades que a Matemática trouxe foi o que muito fascinou Platão, que foi a constatação de que as verdades matemáticas são necessárias. Uma vez que você demonstra um teorema e chega à conclusão do seu resultado, você entende o motivo de ele ser formulado daquela forma. Nesse momento, você está compreendendo uma característica de necessidade: há uma necessidade para que a soma dos quadrados dos catetos seja igual ao quadrado da hipotenusa, no triângulo retângulo. É necessário que seja assim.

Refiro-me a uma noção de uma ação humana, mas não é somente nisso que ocorre essa noção do mundo possível, que pode haver um mundo possível em que o copo de água. Ou seja, essa característica de haver diferentes possibilidades configura a noção de mundo possível.

Dito isso, vamos tomar uma proposição como exemplo para classificar mais este ponto: se dissermos que a neve é branca, essa proposição só é possível se puder ser verdadeira em algum mundo possível. Existe algum mundo possível em que a neve é branca? Existe, então ela é uma proposição possível.

Eu digo que a proposição é contingente se ela é verdadeira em algum mundo possível, mas não em todos. Por exemplo, existe algum mundo possível em que a neve poderia não ser branca? Possivelmente sim. Então, isso é uma característica de contingência.

Além disso, temos a noção de necessidade. A proposição é necessária se ela é verdadeira em todos os mundos possíveis. Eu pego o conjunto de mundos possíveis e vejo uma proposição, e essa proposição será necessária se para qualquer um desses mundos possíveis ela for verdadeira.

Agora, olhem para a Matemática. Você consegue imaginar um mundo possível onde 2 + 2 não seja igual a 4? Não. Isso quer dizer que a Matemática tem a capacidade de revelar as verdades que são necessárias, porque há uma necessidade desse conhecimento produzido. Portanto, esse conjunto de atributos (imutáveis, atemporais, perfeitos, imateriais e necessários), são o que chamamos de atributos semidivinos. 

Os Atributos Semidivinos da Matemática

Há, de alguma forma, na Matemática, uma característica semidivina, e é isso que faz a posição agostiniana de colocar a Matemática no logos divino.

Ou seja, por ter esse conjunto de atributos semidivinos, ela se encaixa dentro do logos divinos, fazendo parte dele, segundo a visão agostiniana.  Nessa visão cristã agostiniana, o logos é a razão  do mundo, está no mundo. Portanto, quando falamos de uma Matemática realista, que está no mundo, e estudamos Matemática, também estamos estudando o logos. Com isso já começa a aparecer mais claramente a noção da importância da Matemática: ela tem uma tremenda capacidade de despertar o homem para a verdade.

E por que isso é importante? No Livro VII de A República, Platão recomendava para todas as pessoas que queriam entrar na vida pública, legislar na polis, etc., que estudassem Matemática, porque para ele a matemática tem a capacidade de apresentar a verdade para a alma do indivíduo. Segundo, também é muito conhecida a história que conta que Platão proibia a entrada na academia de pessoas que não soubessem matemática.

A verdade da matemática é uma verdade das formas, e as formas tem essa capacidade de geração de amor a si própria e podem buscar a verdade em outras áreas do conhecimento. Buscar, por exemplo, a verdade na ética e aplicar na própria legislação. Mas o que é importante, no posicionamento de Platão, que torna a matemática importante? Ela se apresenta para nós como a expressão máxima da capacidade de o homem de conhecer a verdade.

Além de dizer “existe a verdade”, ela nos diz: “existe a capacidade e a possibilidade de o homem conhecer a verdade”. Enxergando-a sob essa ótica, quem estuda matemática percebe e encontra nela verdades necessárias e verdadeiras, cujas consequências não pode deixar de considerar.  Para o indivíduo, há, de fato, um grande despertar. É por isso que na tradição clássica muita importância foi dada ao estudo da matemática que antecedia ao estudo da filosofia, e esse estudo era contínuo também. 

Você já pensou o que Platão, Aristóteles, Santo Alberto Magno, São Tomás de Aquino, Boécio, Descartes, Edmund Hussrl, Kant e Bernard Lonergan tem em comum além do fato de terem feito filosofia? É muito simples: todos eles sabiam matemática, absolutamente todos eles.

Edmund Husserl era matemático, tinha formação em Matemática. Kant também tinha uma forte formação matemática, e São Tomás de Aquino e estudou em Bologna. Ou seja, todos eles sabiam.

Não estou colocando a Matemática de uma maneira esotérica, pois não é esse objetivo, apenas digo que ela pode conduzir a alma até a verdade.

Conhecimento Matemático e o Conhecimento Científico

A importância de se conhecer a Matemática é que ela serve como uma espécie de antídoto contra o relativismo, porque você perceberá suas características, necessidades e atributos semidivinos, e a olhará de maneira realista. Mesmo que alguém o diga que a verdade é uma construção social, você não aceitará essa forma de pensamento, porque você percebeu os atributos de necessidade quando a estudou.

Um último motivo para estudar matemática é a conexão que ela tem com a ciência. Por que isso seria um motivo? Para responder a esta pergunta, contarei uma anedota que expressa a importância de se ter um pouco de conhecimento matemático. Provavelmente, a história não é verdadeira, mas ainda assim ela possui uma moral que vale a pena conhecer. 

No século XIX, uma tzarina na Rússia chamou o famoso Euler, que era um exímio matemático, para um debate com Diderot, da Revolução Francesa. Era em São Petersburgo, e o debate seria sobre a existência de Deus, tema sobre o qual os dois discutiam. Conta-se, nessa anedota, que Diderot não sabia muita matemática, e não ligava para esse conhecimento. O debate era público, e em algum determinado momento Euler simplesmente falou algo como: “Veja bem: ”. Diderot nada respondeu, então Euler disse: “Lide com isso. Portanto, Deus existe.” Diderot não soube o que responder nem o que argumentar contra isso.

E não é exatamente isso que está acontecendo no nosso mundo hoje, com a ciência moderna? Não é que o argumento científico seja falso, mas é que as pessoas estão sendo caladas porque não tem como debater contra esse argumento científico e, em geral, ele está respaldado na matemática. 

Por exemplo, quando há uma análise estatística sobre determinados dados, usam a variação, a distribuição normal e concluem um resultado que tem um impacto prático diário na vida de todos. A Matemática, então, apresenta-se como uma maneira de argumentar, e esse também é um motivo pelo qual você deveria estudá-la, porque você tem de saber o que de fato estão legislando e falando sobre a sua vida, e o que está impactando diretamente até mesmo a educação dos seus filhos.

Para deixar mais claro como funciona a relação entre Matemática e ciência, é interessante notar que ela está adentrando em todas as áreas do conhecimento científico moderno. Existem dois filósofos que servem como exemplo: Jacques Maritain, um tomista do século XX que possui uma filosofia da natureza muito interessante. E Wolfgang Smith, um matemático da atualidade que está fazendo um resgate da filosofia e da tradição aristotélica-tomista para dentro a filosofia da ciência. 

Segundo Jacques Maritain, podemos fazer dois tipos de análises quando olhamos para um ente real: uma análise ontológica, de um ponto de vista metafísico, e uma análise empiriológica, do ponto de vista do empirismo, ou seja, como o ente se apresenta para nós com a nossa experiência sensível.

A análise empiriológica é dividida em dois tipos de análise. A primeira é a análise empirioesquemática, que é, por exemplo, o que a Biologia faz. Ao estudar Biologia na escola, você estudava esquemas celulares, por exemplo. Esses esquemas são montados para explicar um fenômeno real. Isso é o que Jacques Maritain chama de análise empirioesquemática.

A segunda é a análise empiriométrica, em que se usa um instrumento de medida para medir características corporais, como peso, altura, velocidade, momentum, etc. Ou seja, há essa meteria, essa medida que pode ser auferida.

E é exatamente nesse campo empiriométrico que a Física e a Matemática entram. Percebam que já estamos um pouco distantes do ente tal como ele se apresenta a nós na percepção, porque precisamos utilizar um instrumento de medida para chegarmos nas propriedades do objeto. Desse ponto de vista, olhamos para o ente tal como ele se apresenta para o instrumento de medida.

Assim, estamos olhando para o ente ou fenômeno da realidade do ponto de vista emiriométrico, ou seja, como ele se apresenta para um instrumento de medida. Aqui, não entram aspectos qualitativos, mas apenas os aspectos quantitativos. E é exatamente isso que acontece com as teorias físicas e matemáticas da Modernidade. Estamos, portanto, nesse nível empiriométrico do real.

Descartes: O problema da Bifurcação Cartesiana

Aqui é muito oportuno trazer o segundo filósofo que citei: Wolfgang Smith, que traz um problema para a Física e a Matemática moderna, chamado de o problema da bifurcação cartesiana.

Essa bifurcação acontece a partir de Descartes, que é um filósofo que rompe com a tradição aristotélica, platônica, escolástica, medieval, tomista, etc., e é considerado o pai da Modernidade. Nesse rompimento, ele exclui dos entes reais todas as suas outras categorias, focando apenas na quantidade. Ele diz que os aspectos quantitativos do real fazem parte do que chamamos de res extensa, ou seja, a parte extensiva do ente - que é verdadeiramente a única coisa real.

A cor do objeto, por exemplo, é um aspecto qualitativo. Você pode fazer uma análise minuciosa sobre ela e apresentá-la como ondas de luz, explicando o mecanismo de refração do seu olho etc., ou você pode explicá-la do ponto de vista empiriométrico. Mas não é a esse tipo de cor a que Descartes se referia e também não é o objeto desta aula. Aqui estamos falando da cor como um aspecto qualitativo tal como a percebemos no dia-a-dia, ou seja, quando eu vejo uma maçã vermelha, essa vermelhidão é uma qualidade própria dessa maçã específica - é nesse sentido.

Para Descartes, tudo o que é qualitativo está dentro da res  cogitans, ou seja, existe subjetividade, pois tudo que é qualitativo está dentro de uma mente, não no ente real.

Essa bifurcação da realidade em parte extensiva e parte pensante entra na Modernidade e na metodologia científica, e o pensamento científico moderno passa a ser modelado conforme a res extensa, ou seja, veem a realidade como algo redutível à quantidade, e apenas isso é real, tudo mais é subjetivo. A Física e a Matemática estão exatamente nesse nível, que é o reino da quantidade, como o chamava René Guénon.

Nós experienciamos o mundo corpóreo que se apresenta a nós não apenas quantitativamente, sentimos o mundo da experiência sensível, da percepção imediata - percebemos uma árvore à nossa frente, quando caminhamos na rua. Isso é o que Wolfgang Smith chama de mundo corpóreo, que não é reduzível à modernidade. Nos termos de Wolfgang Smith, pelos instrumentos de medição da Física e da Matemática ficamos conhecendo o mundo (ou objeto) físico, ou seja, um objeto da Física.

A redução desse mundo ocorre quando você diz: “Você é apenas um amontoado de átomos.” Acreditar nisso é olhar para a res extensa cartesiana, esse aspecto empíreo-métrico da realidade, e reduzir você mesmo à essa característica.

O debate moderno sobre a inteligência artificial está inteiramente embasado nessas premissas cartesianas. Hoje, há um movimento dentro da academia para colocar em debate a ética uso dos robôs, e isso é uma redução - uma visão cartesiana - do homem. É olhar para mente humana, com seus aspectos qualitativos, e levar em consideração apenas a quantidade.

O Reducionismo Cientificista

Quando a neurociência, utilizando modelos matemáticos, diz que a sua memória e a sua capacidade cognitiva estão reduzidas a um processo de interação neural que acontece no cérebro, de acordo a um modelo estocástico, por exemplo, ela está reduzindo a sua mente ao seu cérebro. No fundo, nessa redução, estão as premissas cartesianas e maritanianas, nas quais a realidade se reduz ao reino da quantidade.

Estudar Matemática, desse ponto de vista da ciência, é de grande importância porque, por exemplo, se você conhece a função da Matemática do ponto de vista realista - que leva em consideração a existência das formas - você não reduziria a mente humana à matéria, pois sabe que existe uma característica imaterial.

Para deixar mais claro, vamos usar a própria Matemática como exemplo. Quando você acata o conceito de triangularidade, esse conceito está no seu intelecto, mas o que acontece quanto temos uma matéria e colocamos esse conceito de triangularidade na matéria? Teremos diante de nós um triângulo. Por exemplo, se você tem um papel e o recorta na forma da triangularidade nele, você ontem um triângulo.

O meu intelecto e a mente tem a capacidade de reconhecer e de captar esse conceito de triangularidade. Se a minha mente se reduzisse ao meu cérebro, ela seria completamente material, e o meu cérebro ao captar o conceito de triangularidade - conceito da Matemática - se transformaria no triângulo. 

Se você percebe na Matemática essas características imateriais, você jamais cairia nesse tipo de argumentação reducionista. Por isso é importante olhar para a Matemática, estudá-la e perceber que tipo de argumentação está sendo usado na Modernidade - e, claro, não cair em linhas de pensamento semelhantes, além de poder entender de fato o que está acontecendo.

O terceiro motivo para se estudar matemática diz respeito às formas de se argumentar, pois, quando a estudamos, é preciso saber argumentar de forma correta. Lembrem-se do que falei sobre a síntese da Matemática grega e dos elementos de Euclides, pois, quando falei sobre esses dois temas, coloquei uma estrutura do pensar matemático, na qual tem as premissas iniciais, depois as inferências, e com essas inferências se chega, enfim, no conhecimento necessário.

Quando estudamos matemática, organizamos nosso raciocínio. Para demonstrar, por exemplo, o Teorema de Pitágoras, é preciso assumir previamente determinadas premissas acerca dos triângulos; o próximo passo é demonstrar aos causas das suas conclusões. Portanto, há uma cadeia argumentativa que você segue. E, quando você faz isso, você está treinando o seu intelecto e a sua capacidade de raciocínio para fazer a mesma coisa em outras áreas e em outros ramos do conhecimento.

Se você vê uma pessoa pública na Modernidade argumentando em prol de uma política ou qualquer outra coisa que lhe seja interessante, significa que existe alguma coisa que está sendo pressuposta na conclusão que ela apresenta. É preciso analisar se essa argumentação faz sentido ou não. Fica mais fácil, à medida em que você estuda Matemática, perceber essas premissas pressupostas. 

Lembre-se da história que contei sobre o matemático Euler: é mais difícil de você ser enganado se você não sabe Matemática. Mas, ao contrário, quando você sabe, começa a perceber todas as premissas e raciocínios prévios que precisam ser admitidos para se chegar à conclusão que estão alegando, além de você poder se posicionar contra uma premissa que você rejeita - e mostrar seus argumentos.

A sua capacidade de articulação e argumentação aumenta, mas também aumenta a capacidade de perceber os argumentos do outro. Portanto, a Matemática se coloca também como uma disciplina que treina o seu raciocínio e a sua capacidade argumentativa.

Conclusão 

Foram enlencados vários motivos para você estudar Matemática e falei um pouco sobre o que ela é e porque deveria ser estudada.

O conhecimento da Matemática é imutável, atemporal, perfeito, imaterial e, principalmente, necessário, porque há verdadeiramente a necessidade do seu conhecimento.

Além disso, ela se apresenta a você como um antídoto ao relativismo. Ao estudar Matemática, você estará vacinado contra o relativismo, e perceberá que existe, de fato, a verdade.

Com isso, você se perguntará se também não é possível que outras áreas do conhecimento tenham as mesmas características que tem a Matemática. Essa era pergunta que Platão fazia. Platão recomendava que as pessoas estudassem Matemática justamente por esse motivo.

Por que não existe essa necessidade no conhecimento da Ética? Por que não existe essa necessidade no conhecimento dentro da Política? Aristóteles e Platão pensavam que era possível, mas o mundo moderno já não pensa da mesma forma. Apesar disso, eu quero que vocês resgatem essa visão da Matemática enquanto capacidade de conhecer a verdade e estabelecer essas necessidades.

     A matemática é o bastião do conhecimento. Provou-se que a matemática é verdadeira e continua sendo verdade. As provas transmitem certeza e elas induzem a compreensão de por que as verdades matemáticas devem ser verdadeiras. Essa compreensão acerca da matemática estava, pelo menos até o fim da escolástica, presente na cultura, isto é, era vista como uma disciplina que conduzia a alma à verdade e preparava o espírito filosófico. 

     Essa capacidade está no coração da matemática e precisa ser resgatada. Ela, devidamente estudada, entre outras coisas, aumenta a capacidade de abstração (de captação de conceitos), capacidade de raciocínio, capacidade de emissão de juízos e a humildade.

     Todos esses aspectos são rigorosamente treinados na alma por meio do estudo da matemática quando a estudamos corretamente.

     Tanto a Filosofia quanto a Matemática, nasceram na Grécia Antiga. 

     A Matemática entra com um grande empecilho, e ao mesmo tempo, suscita no pensamento filosófico questões fundamentais. Por exemplo: o que é o conhecimento matemático? sobre o que tratamos quando falamos de Matemática? Tratamos simplesmente de símbolos, manipulações abstratas, ou de coisas da realidade? A Biologia estuda os seres viventes; a Física estuda o ente enquanto em movimento; mas será que sobra algum espaço na realidade para a Matemática analisar? Ao fazermos perguntas como estas, já começamos a entrar no terreno da filosofia.

     Pela natureza do conhecimento da Matemática, que é de certa forma um mistério, precisamos da Filosofia, e ao mesmo tempo a Filosofia precisa da Matemática para validar os seus sistemas filosóficos. 

Desenvolvimento Histórico da Matemática
     Tudo começa com Tales de Mileto (624 a 546 a.C.), um pré-socrático que tentava encontrar, como todos os pré-socráticos da época, o fundamento para a realidade, o fundamento para o real. Para Tales de Mileto, o fundamento da realidade era a água, mas além de investigar este assunto, Tales também teve contato com a Matemática egípcia e de outras civilizações.

     Naquele tempo, a Matemática era utilizada simplesmente com fins práticos de agricultura, de plantações, etc. Ou seja, havia um fim prático, eles aprenderam uma metodologia de contagem e desenvolveram alguns sistemas. Não se chegou no estágio moderno do pensamento abstrato da Matemática tal como nós o conhecemos hoje, mas, ao contrário, havia só  e simplesmente uma questão prática, necessária para a civilização em que eles viviam.

      Tales teve contato com isso e, pela primeira vez na história, conseguiu abstrair coisas comuns daquela Matemática prática. Com isso, desenvolveu os "teoremas de Tales". Nesse estágio do conhecimento matemático, estamos falando de uma interligação entre Filosofia e Matemática, ou seja, tudo se intercalava, não havia uma decisão de ciências ainda.

     Quanto Tales fazia as abstrações do conhecimento matemático - que ele toma daquelas civilizações -, estava, em certa medida, fazendo Filosofia também. Portanto, o seu ensinamento matemático se confundia com a própria filosofia que ele estava elaborando, e ele formulou aqueles seus primeiros teoremas percebendo esses padrões de abstrações que existiam, mas não apresentou demonstrações. 

     O que conhecemos como demonstração é algo muito posterior, mas mais adiante falaremos sobre isso. O importante agora é saber que Tales não deu provas, ele apenas formulou e apresentou pela primeira vez a possibilidade de um conhecimento imutável. Ou seja, temos aqui algo que parece ser imutável, e não depende da experiência sensível, embora ele não tenha apresentado provas - ele apresentou algumas provas apenas, mas não provas como nós conhecemos.

Pitágoras e a Escola Pitagórica

     As provas posteriormente ditas aparecem um pouco mais tarde, em 570 a.C., com Pitágoras de Samos. Pitágoras é outro pensador que está inserido no contexto dos pré-socráticos de tentar encontrar o fundamento da realidade, e Pitágoras também teve contato com a civilização egípcia, mesopotâmica, e com a Matemática desenvolvida por eles e por Tales.

     Pitágoras começa a desenvolver o fundamento da realidade a partir do conceito que já estava mais ou menos pré-determinado no período, que é o conceito de número. Ou seja, Pitágoras é o primeiro pensador que enxerga a realidade como número. Isso não quer dizer que o número é um aspecto do real como nós o somos, mas quer dizer que Pitágoras enxergava a essência das coisas (no sentido platônico e aristotélico, que virá depois), como número.

     Isso quer dizer que todo o real se reduz, e o real é número, para Pitágoras. Mas, mais do que isso, além desse caráter filosófico já de início, a Matemática também tinha na escola pitagórica um caráter iniciático, porque esse seria um conhecimento, de certa forma, gnóstico que você teria acerca da realidade. A pessoa precisava passar por um ritual de iniciação para entrar na escola pitagórica e ter acesso a esse conhecimento. Então, a escola pitagórica entra para a história surgida como uma espécie de irmandade.

     Quando digo era uma escola inicática, é porque realmente funcionava dessa forma. E esses membros esotéricos da escola pitagórica eram chamados de matemáticos, ou seja, é a primeira vez que aparece o termo matemáticos.

     É claro que matemáticos e Matemática, do conhecimento que nós temos hoje desses termos, se deve a Aristóteles, que vem depois de Pitágoras. Então, Aristóteles é quem fará as divisões das ciências e definirá a Matemática de um jeito claro, porque ele tem uma filosofia subjacente para definir a Matemática. É por causa de Aristóteles, portanto, que entra para a história o que chamamos hoje de Matemática.

     Recapitulando: Pitágoras viu o número como a essência das coisas, ou seja as coisas mesmas são números, tudo é número. E se o número é a essência das coisas, isso significa que não dependemos da experiência sensível, ou seja, o número já tinha essa característica de imaterialidade antes mesmo que pudesse haver a experiência. Então, se ele está na essência de todas as coisas do mundo real, para Pitágoras, não precisamos da experiência sensível para saber do mundo real, basta nos restringirmos à Matemática, ao conceito de número e desenvolver todo um conhecimento acerca disso.

     Pitágoras é um pensador que realiza esta tarefa. Ele apresenta pela primeira vez algumas noções de provas. Para termos alguma noção sobre isso, prova significa partir de um raciocínio inicial, no qual há algumas premissas iniciais, em seguida se faz um raciocínio dedutivo de tal maneira que a conclusão seja extremamente necessária, portanto, indubitável, ou seja, você não consegue duvidar da conclusão daquela prova. 

     Pitágoras pela primeira vez realiza este feito. Com isso a Matemática dá um salto abstrativo - lembrem-se de que antes a Matemática era usada para fins práticos - e começa a produzir um conhecimento que se confunde com o conhecimento filosófico.

     Nesse momento ainda estamos no berço da Filosofia ocidental. Existem no Oriente outras escolas de Filosofia, até mesmo na Grécia, mas a sistematização da Filosofia ocidental tal como entra no Ocidente acontece neste período com os pré-socráticos, Sócrates, Platão, Aristóteles, etc.

     Pitágoras apresenta para nós a Matemática como a produção de um conhecimento indubitável, que, apreendido, não há mais o que possa ser mudado. Isso é quase dizer "verdade conhecida, verdade obedecida", como dizia Platão. Para Pitágoras, o conhecimento da Matemática é uma verdade acerca da realidade, e é o único meio de se chegar no real, porque ele via a essência de todas as coisas no número. Para isso não é necessária a aparência sensível. Posteriormente esse modo de ver influencia todo o pensamento grego - veremos isso mais a fundo quando abordarmos Platão e Aristóteles.

     A escola pitagórica se espalha, e começam a ser desenvolvidos os teoremas da Matemática como nós os conhecemos hoje - todos nós conhecemos o teorema de Pitágoras, por exemplo.

     O teorema de Pitágoras foi descoberto na escola pitagórica. Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. E isso é uma coisa que se aplica a qualquer triângulo retângulo; não precisamos conferir muitos triângulos retângulos para termos certeza deste conhecimento, basta que seja demonstrado; disso decorre a importância da demonstração na Matemática: uma vez que você demonstra o resultado, ele é verdade e não há o que discutir.

     Mesmo sem conhecer o teorema de Pitágoras, ele já era uma verdade antes de sua própria formulação, em qualquer lugar em que pudesse ser testado. Esse novo tipo de conhecimento trazido por Pitágoras espanta os gregos. O primeiro deles a se espantar com isso foi Platão, o que influenciará profundamente todo o seu pensamento.

Platão e a Matemática na Filosofia
     Em sua juventude, por volta dos dezoito anos, Platão queria entrar para a vida pública da PÓLIS grega, até conhecer Sócrates, que o cativa e o inspira para a busca filosófica, pois Sócrates lhe ensinava que o conhecimento mais valioso era o conhecimento perene das essências das coisas, e disso Platão formulará posteriormente sua teoria das formas, de inspiração socrática.

     Platão desenvolve toda uma filosofia acerca do mundo e da realidade, buscando encontrar a essência das coisas e o conhecimento perene: o bem e a beleza, por exemplo. Os diálogos platônicos, a título de exemplo, estão repletos dessas questões, nos quais Platão busca saber o que é o conhecimento, entre outras questões. No entanto, depois da morte de Sócrates, Platão viaja para o sul da Itália, onde encontra os pitagóricos, que lhe apresentam aquele conhecimento matemático que estava sendo formulado por eles, que quase por ser chamado de catedral do conhecimento. 

     O conhecimento matemático dos pitagóricos fascina Platão, porque o conhecimento que ele havia aprendido a buscar parecia ter uma metodologia a partir de Pitágoras. Os pitagóricos pareciam fornecer a ele um meio para se chegar nesse tipo de conhecimento. Platão adere ao pitagorismo não no sentido de entrar na escola iniciática, mas de se apossar da capacidade de conhecer a verdade, e incorpora isso na Filosofia.

     A obra de Platão é inteiramente permeada de Matemática, com exemplos constantes. No diálogo Mênon, Sócrates chama um escravo de Mênon (personagem do diálogo) para demonstrar a teoria da reminiscência de Platão. Por exemplo, o escravo tinha e duplicar a área do quadrado; Sócrates então faz muitas perguntas que o fazem chegar ao conhecimento, como se tivesse sido sempre uma lembrança. É por isso que Platão usa a Matemática ali para justificar a sua teoria da reminiscência.

     Platão, além disso, traz a metodologia da matemática para a sua prática filosófica - incorporando também o que ele aprendeu com os pitagóricos. Nesse momento ele coloca a Matemática no desenvolvimento da sua Filosofia como um intermediário entre o mundo sensível e o mundo das formas, o mundo das coisas.

     Platão diz que a Geometria é aquela disciplina - na época a Geometria se resumia a toda a Matemática - que conduz a alma à verdade e prepara para o espírito filosófico. Ele também recomendava na República, no livro VII, que toda pessoa que fosse entrar ou fosse legislar na vida da PÓLIS deveria antes estudar Matemática. Com toda essa influência e o seu conhecimento de Matemática, ele começa a incorporar uma Filosofia acerca daquilo, que mexe completamente no seu eixo filosófico, na sua maneira de fazer Filosofia. Com isso, Platão percebeu a capacidade da Matemática de conduzir a alma para a verdade e prepará-la para o espírito filosófico.

     Ele via que a Matemática, da maneira que os pitagóricos lhe apresentaram, permitiria que ele tivesse algum conhecimento das formas. Portanto, conhecemos as formas - as ideias platônicas - com a Matemática. Se isso acontece, as ideias tem em Platão a capacidade de gerar amor próprio, ou seja, à medida que você vai conhecendo uma ideia, vai querendo conhecer cada vez mais, com amor e com entrega.

     Platão via que quando a Matemática apresentava isso, ela podia preparar quem quisesse entrar na vida política para legislar na pólis, porque essa pessoa conheceria as formas e, com acesso a esse conhecimento, perceberia que existe de fato a verdade e existem as essências. Essa pessoa se perguntaria: "Se existem essas verdades e essências nessa área do conhecimento, será que elas existem em outras?".

     Apesar de nesse estágio não haver ainda em Platão uma disciplina como forma de fazer conhecimento, mais tarde será uma disciplina propriamente dita em Aristóteles. Platão se pergunta se não existira a capacidade de conhecer a verdade na estética, de conhecer o que é o belo, por exemplo; assim como se pergunta também por que não existiria a capacidade de se conhecer a verdade na moral, que era no que ele estava interessado.
 
     Platão queria que o legislador, com a capacidade que as formas tem de gerar amor a elas próprias, se sentisse impelido a buscar o conceito de Bem e buscá-lo, e quando ele fosse legislar, aplicasse na medida do possível essas verdades imutáveis - porque o mundo sensível é uma sombra imperfeita das ideias perfeitas. Platão queria que ele aplicasse o máximo possível o conceito de Bem, que ele conheceu na Moral et., mas para a qual a Matemática o preparou.

     É por isso então que ele recomenda o estudo da Matemática para qualquer um que fosse entrar na vida da pólis e que fosse legislar. Mais ainda, há uma anedota que diz que, na Academia de Platão, havia inscrita a famosa frase: "aqui não se aceitam pessoas que não saibam Geometria". Lembrem-se de que a Geometria naquela época era toda a Matemática. 

     Platão coloca a Matemática entre a teoria das ideias (que ele desenvolve) e o mundo sensível, porque ela tem esse entrelaçamento com outros desenvolvimentos da sua própria filosofia, e, à medida em que ele ia desenvolvendo sua filosofia, ele também desenvolvia a Matemática, pois Platão também a desenvolveu.

Aristóteles e a Fundação da Matemática

     Um de seus alunos mais brilhantes, Aristóteles, assimila esse aprendizado ensinado por Platão, porque na Academia platônica se estudava Matemática dessa maneira que os pitagóricos a colocavam, como produção de conhecimento imaterial, e, analisando mais profundamente esse conhecimento, Aristóteles começa a fundamentar a Matemática. Por exemplo, ele nota que não existem fundamentos muito bem definidos e bem claros sobre o que se estuda na Geometria.

     Ele passa a procurar por alguma qualificação, digamos assim, para esses fundamentos de que estamos partindo para chegar a esse conhecimento, mas parte do princípio de que é preciso estabelecer os fundamentos antes. E ele começa a fazer Filosofia assim. Ele percebe que na Matemática parte-se de algo, apesar de que para ele estava dúbio esse algo de que se partia, mas você partia desse algo, chegava no conhecimento imutável e necessário. Ele começa a incorporar dentro da sua própria Filosofia essa metodologia.

     Quando Aristóteles tenta buscar os princípios primeiros - a sua Metafísica -, está exatamente imitando, fazendo um processo de mimésis do que ele aprende com a Matemática, porque à medida em que ele ia buscando esses axioma (vamos chamar assim) da Metafísica, esses princípios primeiros, que fundamentariam todas as áreas do conhecimento, ele também influenciou o ramo da Matemática a fazer isso com a própria Matemática. Há esse entrelaçamento também em Aristóteles, entre essas duas áreas.

     Aristóteles escreve uma de suas obras mais importantes: Órganon, obra na qual está a lógica aristotélica, na qual Aristóteles desenvolve alguns silogismos, ensina como elaborar um raciocínio para dele chegar ao conhecimento, entre outras coisas.

     Nos Elementos, de Euclides, que possui noções comuns, axiomas, proposições, etc., e é um conhecimento construído a partir dos princípios primeiros. Euclides chega a um conhecimento indubitável; o Órganon de Aristóteles possui estrutura muito similar: ele parte de bases estabelecidas e constrói através de uma teoria argumentativa, por assim dizer, um conhecimento semelhante ao conhecimento produzido pela Matemática.

     Por exemplo, nessa obra, quando Aristóteles utiliza-se de uma argumentação ad absurdum (redução ao absurdo), ele parte da demonstração famosa, na qual se utiliza um argumento de redução ao absurdo, ou seja, partir da hipótese de que é racional e chegar ao absurdo, que contraria uma verdade já conhecida. Ele o faz para dar exemplo desse tipo de argumentação de que ele falava e que recomendava, para se chegar a um conhecimento. Ele dizia que às vezes era preciso usar esse tipo de argumentação.

     Dessa forma, também em Aristóteles temos esse entrelaçamento entre Matemática e Filosofia. À medida em que Aristóteles vai fazendo filosofia, começa a influenciar os matemáticos na sua maneira de fazer Matemática, apesar de ele não ter entrado para a história como alguém que produziu muito conhecimento matemático, como Platão, que produziu, de fato, conhecimento matemático.

     Hoje especula-se, entre os estudiosos, que ele produziu sim alguns teoremas, demonstrou algumas coisas e fez avançar o conhecimento matemático. Apesar disso, o fato é que Aristóteles influencia fortemente a maneira de se fazer Matemática e é também influenciado por ela.

     Aristóteles via a Matemática de maneira diferente de Platão. Este via a Matemática como uma disciplina entre o mundo das ideias e o mundo sensível, que conduzia o estudante para a verdade e o preparava para o espírito filosófico para chegar no mundo das ideias. Aristóteles, por sua vez, desenvolve a teoria das dez categorias, que são categorias do ser, na qual há nove categorias acidentais e uma categoria da substância, que é o ente em si mesmo, que está diante de quem observa.

     Essas noves categorias acidentais são as categorias que você predica acerca de um ente. Dentre elas, temos a primeira categoria acidental: a categoria da quantidade. Quanto falo de um ente, posso dizer, por exemplo, que esse ente pesa tantos quilos ou mede tantos metros (essa pessoa pesa 90kg, ou mede 1,70m, por exemplo). A Matemática em Aristóteles era a abstração da quantidade.

     Mas o que entendemos por abstração, e o que Aristóteles entendia? Para ele, abstração era olhar para um ente sob um de seus aspectos. A sua mente ou intelecto abstrai aquele aspecto da realidade e esquece todos os outros. Quando olhamos para um ente a partir da categoria da quantidade, fazemos matemática, segundo Aristóteles. Ou seja, esquecemos todas as outras categorias, como a de qualidade, de lugar, etc., e apenas nos preocupamos com a quantidade. Isso é o processo abstrativo, tanto em Aristóteles quanto, em geral, na realidade.

     Temos, além de tudo, a diferença entre o pensamento platônico acerca da Matemática, o pensamento pitagórico, e o pensamento aristotélico - todos eles, no entanto, entram na Matemática e na Filosofia da Matemática. Esses pensamentos fazem parte do que chamamos de realismo matemático, ou seja, todos eles viam esse conhecimento, que estava sendo produzido pela Matemática, como um conhecimento real. A diferença entre eles se dá onde estariam os objetos da Matemática.

     Em Platão, eles são o intermediário entre o mundo das ideias e o mundo sensível. Em Aristóteles eles estão na própria realidade, já que é a abstração da categoria da realidade, que está no ente real. Isso influencia o sistema filosófico de ambos. Por sua vez, o projeto filosófico ocidental, na forma de buscar o conhecimento a partir da Filosofia platônico-aristotélica, possui essa carga matemática subjacente.

Como Euclides influenciou a História da Matemática

     Ao mesmo tempo a Matemática vai se transformando de tal maneira que posteriormente Euclides condensa e faz a síntese desse desenvolvimento. Euclides produz mais impressões depois da Bíblia, que são Os Elementos. Ele é, portanto, a síntese do que estava acontecendo, mais especificamente a síntese da Matemática grega.

     Euclides pega essa sugestão aristotélica e fundamenta os famosos postulados da Geometria euclidiana. Ou seja, os cinco postulados da Geometria euclidiana são colocados e formulados de uma maneira precisa por Euclides pela primeira vez, mas como sugestão aristotélica, ou seja, como aquilo que Aristóteles faz no Órganon, ele traz essa formulação para Matemática. Portanto, temos influência da própria filosofia na maneira como a Matemática entra para a história.

     E Os Elementos de Euclides são um marco para a Matemática porque nessa obra há uma metodologia de se fazer Matemática, e é uma síntese de tudo o que estava sendo formulado até então. Em Os Elementos de Euclides a primeira coisa que encontramos são as noções comuns. Obviamente, se desejamos saber sobre o que estamos falando, precisamos reunir as noções que todos sabemos quais são. Por exemplo, o que é o ponto? Ele começa a definir: ponto é aquilo do qual nada faz parte. Da mesma forma, ele define o que é linha, e assim por diante.

     Depois dessas noções comuns, você tem os famosos postulados, que são cinco. Postulado para Euclides é uma proposição, uma asserção escrita em que não se demonstra, mas parte-se dela. Por exemplo, um postulado da Geometria euclidiana é que por dois pontos distintos passa uma única reta. Se você pensar um pouco sobre isso, isso lhe parecerá uma verdade autoevidente acerca do plano e do espaço quando você os observa de uma maneira euclidiana. Você não demonstra isso, mas assume como verdade. Isso são os princípios primeiros, os postulados da Geometria, que em Os Elementos de Euclides são cinco. Dessa forma, temos nessa obra uma imitação dos princípios primeiros da Metafísica de Aristóteles.

     Depois disso, começa-se a construção do conhecimento. Então, assumindo essas noções comuns, tendo as definições iniciais sobre o que é ponto, linha, etc., desses cinco postulados construímos o conhecimento. Da mesma forma que Pitágoras estava demonstrando seu teorema, que era, por sua vez, um conhecimento demonstrável, que se apresenta como imaterial, etc. Euclides sintetiza uma metodologia para se fazer isso. Claro, ele o faz a partir dessa influência de Platão e Aristóteles, mas a Matemática também influenciou a Filosofia deles.

     Quando se demonstra os resultados da Geometria euclidiana, eles são indubitáveis. A partir de uma prova, na Matemática, você parte desses axiomas, desses postulados iniciais e, por raciocínio dedutivo, por uma inferência, chega em outro conhecimento, e isso se resumirá em um teorema, numa proposição, num lema, que será outra asserção, e essa asserção tem uma demonstração, uma prova. Isso está colocado em Os Elementos de Euclides e é algo que entra para a história como a grande contribuição da Matemática grega, que molda todo o pensamento ocidental acerca da Matemática. Portanto, toda a Matemática feita na Modernidade é uma imitação e aperfeiçoamento (em alguns momentos, aperfeiçoamento; em outros, imitação) do que Euclides desenvolveu em Os Elementos.

     Não estou falando na Matemática moderna se fez cópia de Os Elementos, mas apenas que aquela metodologia de desenvolver uma prova matemática é transferida para esta disciplina e entra n história como um todo - explicarei um pouco mais sobre demonstração nas aulas posteriores.

     Porém, mais importante que todos esses personagens envolvidos nessa história é que a Matemática tinha essa capacidade de produção de um conhecimento necessário e indubitável, sobre o qual ninguém poderia duvidar, pois uma vez que você entende uma demonstração ou prova, você não tem simplesmente a apreensão daquela proposição, mas uma espécie de visualização metafísica de uma verdade. É isso que esses filósofos viam na Matemática e está por trás de todos esses desenvolvimentos.

A Matemática nos Tempos Modernos

     Até a Modernidade, até o surgimento do Nominalismo, todo mundo via a Matemática assim. Ou seja, a Matemática entrava na disciplina de preparação da alma para conduzir à verdade e preparar para o espírito filosófico. 

     À medida em que você olha para Matemática, o que é esse conhecimento que está sendo produzido? Como esse conhecimento se aplica à realidade? Por exemplo, nesse momento, você está utilizando uma tecnologia para ler este conteúdo sobre Matemática e Filosofia. Essa tecnologia foi possível graças a um desenvolvimento matemático, ou seja, de uma disciplina que tinha essa abstração, sobre a qual não se pensava como uma utilidade ou que tivesse uma aplicabilidade tão eficiente no mundo real. No entanto, ela está presente no nosso cotidiano a todo momento.

     Isso quer dizer que os filósofos precisam responder à pergunta: como a matemática se aplica tão bem à realidade? O prêmio nobel Eugene Wigner, que é um físico, em determinada palestra acerca da relação entra a Física e a Matemática, diz que essa pergunta é um grande mistério. Einstein também dizia que a aplicação da Matemática no mundo real era um grande mistério. Como uma disciplina, que se apresenta de maneira tão abstrata, tem uma conexão tão forte com a realidade? Para responder a essa pergunta, é preciso o que chamamos de Filosofia da Matemática. Ou seja, você precisará de um sistema filosófico que possa olhar para a Matemática, perceber o que é esse conhecimento, responder a essa pergunta e encaixar a resposta dentro do seu conhecimento. À medida em que a Matemática avança, como aconteceu no caso de Kant, ela pode apresentar-se como um empecilho para o seu sistema. Você terá de mudar seu jeito de pensar a Filosofia e vice-versa.

     A partir das filosofias da matemática existem duas grandes escolas que entraram para história, cujo debate se manteve entre elas, que são o Platonismo e o Nominalismo. Vimos que Platão buscava o mundo das ideias, das essências, a natureza das coisas, aquilo que define o que a coisa é, e ele via a Matemática como um intermediário entre o mundo sensível e o mundo das ideias. Ou seja, quando estamos falando de objeto matemático, ele é uma coisa que existe e é algo, mas é também uma essência. 

     O Nominalismo dirá que não. Enquanto ciências, estamos apenas utilizando nomes, por isso Nominalismo. Nomes são símbolos, são apenas nomes dados para uma estrutura comum que encontramos entre os entes. Esse conceito será “homem" ou “humanidade”, por exemplo. Portanto, é apenas um nome que estou dando para poder falar desses atributos comuns que eu encontro nos entes. Isso é nominalismo.

     Na Matemática, quando se fala em Geometria euclidiana, ou do teorema de Pitágoras, por exemplo, estamos falando apenas do conceito de número, do conceito de número complexo, etc. Isso quer dizer que estamos tratando apenas de conceitos, do ponto de vista do Nominalismo. Se você está dentro do Nominalismo, esses conceitos são apenas nomes que a damos para identificar alguma estrutura comum.

     No Platonismo é diferente, pois os entes da Matemática tem existência real. Quando falo de número, existe na realidade o número; quando eu falo de triângulo, existe na realidade do triângulo Essas duas correntes dominaram o cenário por muito tempo.

     À medida em que o tempo foi avançando, outras escolas surgiram, mas quase todas elas como uma variação do Nominalismo. A primeira delas é o Intuicionismo. O Intuicionismo dirá que a Matemática é apenas probabilidade, ou seja, está intimamente conectada com a noção de prova. E, mais ainda, as provas precisam ser construídas dentro do Intuicionismo. Então, algumas demonstrações que existem na Matemática sobre a existência de algo não são aceitas pelos intuicionistas. Para eles, você precisa construir um objeto, não basta você mostrar que ele existe, tanto que eles negam a demonstração por absurdo, por exemplo. 

     Sendo assim, esse conhecimento matemático precisa ser construído para eles, mas eles não dão uma definição muito clara do que é probabilidade, do que é prova, do que é demonstração matemática. Como eles não deixam isso muito claro, isso acaba por ser um problema para eles.

     Depois, teremos o Socioconstrutivismo. Essa corrente colocará que o conhecimento matemático é uma construção social. Desse ponto de vista, dois mais dois poderia ter resultado diferente, e poderíamos estar vivendo numa realidade orwelliana, como aparece na obra 1984 de Orwell. No Socioconstrutivismo não existe Verdade, apenas “verdades”.

     Nele, a Matemática é uma grande ficção, uma construção social, e a capacidade que a Matemática tem que construir o conhecimento e uma ilusão. O que o socioconstrutivismo aponta é que a verdade não existe, mas é apenas uma construção social vinda do imperialismo europeu, vinda de uma visão ocidental, ou de qualquer outra coisa que queiram acusar.

     Além destes, aparece também o Formalismo, que é reduzir a Matemática a símbolos manipuláveis, ou seja, a Matemática trata de símbolos que eu manipulo de acordo com algumas regras de inferência.  Ou seja, temos símbolos que não tem referente algum. Notem como é uma versão nominalista da Matemática. Os dados matemáticos são signos, são símbolos que estão presentes, mas que não tem um referente real, não se refere a nada, eu apenas manipulo esses símbolos de acordo com um conjunto de regras de inferência. Esse é o Formalismo, que é muito próximo do Logicismo, mas não é exatamente ele. O Logicismo é uma visão que reduz a Matemática à Lógica. Mas na Lógica você tem um processo muito similar ao Formalismo, então é ela quase uma vertente do Formalismo.

     Por último, está acontecendo uma reestruturação, um. movimento dentro da Filosofia da Matemática, falando do realismo aristotélico-agostiniano, que busca recobrar a visão de Aristóteles de que a Matemática trata do mundo real. Assim como a Biologia trata do mundo real, assim como a Física trata do mundo real, como a Metafísica está falando do mundo real, a Matemática também está, segundo esse ponto de vista. Não estamos falando de entes da razão, nem nada disso.

     No realismo aristotélico só se trata do mundo real. E a matemática entra como a disciplina que estuda a quantidade e a estrutura. Aqui, mistura-se com a visão filosófica agostiniana, pois aqueles objetos matemáticos que não são estanciados da realidade estão na mente de Deus.