A matemática é o bastião do conhecimento. Provou-se que a matemática é verdadeira e continua sendo verdade. As provas transmitem certeza e elas induzem a compreensão de por que as verdades matemáticas devem ser verdadeiras. Essa compreensão acerca da matemática estava, pelo menos até o fim da escolástica, presente na cultura, isto é, era vista como uma disciplina que conduzia a alma à verdade e preparava o espírito filosófico.
Essa capacidade está no coração da matemática e precisa ser resgatada. Ela, devidamente estudada, entre outras coisas, aumenta a capacidade de abstração (de captação de conceitos), capacidade de raciocínio, capacidade de emissão de juízos e a humildade.
Todos esses aspectos são rigorosamente treinados na alma por meio do estudo da matemática quando a estudamos corretamente.
Tanto a Filosofia quanto a Matemática, nasceram na Grécia Antiga.
A Matemática entra com um grande empecilho, e ao mesmo tempo, suscita no pensamento filosófico questões fundamentais. Por exemplo: o que é o conhecimento matemático? sobre o que tratamos quando falamos de Matemática? Tratamos simplesmente de símbolos, manipulações abstratas, ou de coisas da realidade? A Biologia estuda os seres viventes; a Física estuda o ente enquanto em movimento; mas será que sobra algum espaço na realidade para a Matemática analisar? Ao fazermos perguntas como estas, já começamos a entrar no terreno da filosofia.
Pela natureza do conhecimento da Matemática, que é de certa forma um mistério, precisamos da Filosofia, e ao mesmo tempo a Filosofia precisa da Matemática para validar os seus sistemas filosóficos.
Desenvolvimento Histórico da Matemática
Tudo começa com Tales de Mileto (624 a 546 a.C.), um pré-socrático que tentava encontrar, como todos os pré-socráticos da época, o fundamento para a realidade, o fundamento para o real. Para Tales de Mileto, o fundamento da realidade era a água, mas além de investigar este assunto, Tales também teve contato com a Matemática egípcia e de outras civilizações.
Naquele tempo, a Matemática era utilizada simplesmente com fins práticos de agricultura, de plantações, etc. Ou seja, havia um fim prático, eles aprenderam uma metodologia de contagem e desenvolveram alguns sistemas. Não se chegou no estágio moderno do pensamento abstrato da Matemática tal como nós o conhecemos hoje, mas, ao contrário, havia só e simplesmente uma questão prática, necessária para a civilização em que eles viviam.
Tales teve contato com isso e, pela primeira vez na história, conseguiu abstrair coisas comuns daquela Matemática prática. Com isso, desenvolveu os "teoremas de Tales". Nesse estágio do conhecimento matemático, estamos falando de uma interligação entre Filosofia e Matemática, ou seja, tudo se intercalava, não havia uma decisão de ciências ainda.
Quanto Tales fazia as abstrações do conhecimento matemático - que ele toma daquelas civilizações -, estava, em certa medida, fazendo Filosofia também. Portanto, o seu ensinamento matemático se confundia com a própria filosofia que ele estava elaborando, e ele formulou aqueles seus primeiros teoremas percebendo esses padrões de abstrações que existiam, mas não apresentou demonstrações.
O que conhecemos como demonstração é algo muito posterior, mas mais adiante falaremos sobre isso. O importante agora é saber que Tales não deu provas, ele apenas formulou e apresentou pela primeira vez a possibilidade de um conhecimento imutável. Ou seja, temos aqui algo que parece ser imutável, e não depende da experiência sensível, embora ele não tenha apresentado provas - ele apresentou algumas provas apenas, mas não provas como nós conhecemos.
Pitágoras e a Escola Pitagórica
As provas posteriormente ditas aparecem um pouco mais tarde, em 570 a.C., com Pitágoras de Samos. Pitágoras é outro pensador que está inserido no contexto dos pré-socráticos de tentar encontrar o fundamento da realidade, e Pitágoras também teve contato com a civilização egípcia, mesopotâmica, e com a Matemática desenvolvida por eles e por Tales.
Pitágoras começa a desenvolver o fundamento da realidade a partir do conceito que já estava mais ou menos pré-determinado no período, que é o conceito de número. Ou seja, Pitágoras é o primeiro pensador que enxerga a realidade como número. Isso não quer dizer que o número é um aspecto do real como nós o somos, mas quer dizer que Pitágoras enxergava a essência das coisas (no sentido platônico e aristotélico, que virá depois), como número.
Isso quer dizer que todo o real se reduz, e o real é número, para Pitágoras. Mas, mais do que isso, além desse caráter filosófico já de início, a Matemática também tinha na escola pitagórica um caráter iniciático, porque esse seria um conhecimento, de certa forma, gnóstico que você teria acerca da realidade. A pessoa precisava passar por um ritual de iniciação para entrar na escola pitagórica e ter acesso a esse conhecimento. Então, a escola pitagórica entra para a história surgida como uma espécie de irmandade.
Quando digo era uma escola inicática, é porque realmente funcionava dessa forma. E esses membros esotéricos da escola pitagórica eram chamados de matemáticos, ou seja, é a primeira vez que aparece o termo matemáticos.
É claro que matemáticos e Matemática, do conhecimento que nós temos hoje desses termos, se deve a Aristóteles, que vem depois de Pitágoras. Então, Aristóteles é quem fará as divisões das ciências e definirá a Matemática de um jeito claro, porque ele tem uma filosofia subjacente para definir a Matemática. É por causa de Aristóteles, portanto, que entra para a história o que chamamos hoje de Matemática.
Recapitulando: Pitágoras viu o número como a essência das coisas, ou seja as coisas mesmas são números, tudo é número. E se o número é a essência das coisas, isso significa que não dependemos da experiência sensível, ou seja, o número já tinha essa característica de imaterialidade antes mesmo que pudesse haver a experiência. Então, se ele está na essência de todas as coisas do mundo real, para Pitágoras, não precisamos da experiência sensível para saber do mundo real, basta nos restringirmos à Matemática, ao conceito de número e desenvolver todo um conhecimento acerca disso.
Pitágoras é um pensador que realiza esta tarefa. Ele apresenta pela primeira vez algumas noções de provas. Para termos alguma noção sobre isso, prova significa partir de um raciocínio inicial, no qual há algumas premissas iniciais, em seguida se faz um raciocínio dedutivo de tal maneira que a conclusão seja extremamente necessária, portanto, indubitável, ou seja, você não consegue duvidar da conclusão daquela prova.
Pitágoras pela primeira vez realiza este feito. Com isso a Matemática dá um salto abstrativo - lembrem-se de que antes a Matemática era usada para fins práticos - e começa a produzir um conhecimento que se confunde com o conhecimento filosófico.
Nesse momento ainda estamos no berço da Filosofia ocidental. Existem no Oriente outras escolas de Filosofia, até mesmo na Grécia, mas a sistematização da Filosofia ocidental tal como entra no Ocidente acontece neste período com os pré-socráticos, Sócrates, Platão, Aristóteles, etc.
Pitágoras apresenta para nós a Matemática como a produção de um conhecimento indubitável, que, apreendido, não há mais o que possa ser mudado. Isso é quase dizer "verdade conhecida, verdade obedecida", como dizia Platão. Para Pitágoras, o conhecimento da Matemática é uma verdade acerca da realidade, e é o único meio de se chegar no real, porque ele via a essência de todas as coisas no número. Para isso não é necessária a aparência sensível. Posteriormente esse modo de ver influencia todo o pensamento grego - veremos isso mais a fundo quando abordarmos Platão e Aristóteles.
A escola pitagórica se espalha, e começam a ser desenvolvidos os teoremas da Matemática como nós os conhecemos hoje - todos nós conhecemos o teorema de Pitágoras, por exemplo.
O teorema de Pitágoras foi descoberto na escola pitagórica. Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. E isso é uma coisa que se aplica a qualquer triângulo retângulo; não precisamos conferir muitos triângulos retângulos para termos certeza deste conhecimento, basta que seja demonstrado; disso decorre a importância da demonstração na Matemática: uma vez que você demonstra o resultado, ele é verdade e não há o que discutir.
Mesmo sem conhecer o teorema de Pitágoras, ele já era uma verdade antes de sua própria formulação, em qualquer lugar em que pudesse ser testado. Esse novo tipo de conhecimento trazido por Pitágoras espanta os gregos. O primeiro deles a se espantar com isso foi Platão, o que influenciará profundamente todo o seu pensamento.
Platão e a Matemática na Filosofia
Em sua juventude, por volta dos dezoito anos, Platão queria entrar para a vida pública da PÓLIS grega, até conhecer Sócrates, que o cativa e o inspira para a busca filosófica, pois Sócrates lhe ensinava que o conhecimento mais valioso era o conhecimento perene das essências das coisas, e disso Platão formulará posteriormente sua teoria das formas, de inspiração socrática.
Platão desenvolve toda uma filosofia acerca do mundo e da realidade, buscando encontrar a essência das coisas e o conhecimento perene: o bem e a beleza, por exemplo. Os diálogos platônicos, a título de exemplo, estão repletos dessas questões, nos quais Platão busca saber o que é o conhecimento, entre outras questões. No entanto, depois da morte de Sócrates, Platão viaja para o sul da Itália, onde encontra os pitagóricos, que lhe apresentam aquele conhecimento matemático que estava sendo formulado por eles, que quase por ser chamado de catedral do conhecimento.
O conhecimento matemático dos pitagóricos fascina Platão, porque o conhecimento que ele havia aprendido a buscar parecia ter uma metodologia a partir de Pitágoras. Os pitagóricos pareciam fornecer a ele um meio para se chegar nesse tipo de conhecimento. Platão adere ao pitagorismo não no sentido de entrar na escola iniciática, mas de se apossar da capacidade de conhecer a verdade, e incorpora isso na Filosofia.
A obra de Platão é inteiramente permeada de Matemática, com exemplos constantes. No diálogo Mênon, Sócrates chama um escravo de Mênon (personagem do diálogo) para demonstrar a teoria da reminiscência de Platão. Por exemplo, o escravo tinha e duplicar a área do quadrado; Sócrates então faz muitas perguntas que o fazem chegar ao conhecimento, como se tivesse sido sempre uma lembrança. É por isso que Platão usa a Matemática ali para justificar a sua teoria da reminiscência.
Platão, além disso, traz a metodologia da matemática para a sua prática filosófica - incorporando também o que ele aprendeu com os pitagóricos. Nesse momento ele coloca a Matemática no desenvolvimento da sua Filosofia como um intermediário entre o mundo sensível e o mundo das formas, o mundo das coisas.
Platão diz que a Geometria é aquela disciplina - na época a Geometria se resumia a toda a Matemática - que conduz a alma à verdade e prepara para o espírito filosófico. Ele também recomendava na República, no livro VII, que toda pessoa que fosse entrar ou fosse legislar na vida da PÓLIS deveria antes estudar Matemática. Com toda essa influência e o seu conhecimento de Matemática, ele começa a incorporar uma Filosofia acerca daquilo, que mexe completamente no seu eixo filosófico, na sua maneira de fazer Filosofia. Com isso, Platão percebeu a capacidade da Matemática de conduzir a alma para a verdade e prepará-la para o espírito filosófico.
Ele via que a Matemática, da maneira que os pitagóricos lhe apresentaram, permitiria que ele tivesse algum conhecimento das formas. Portanto, conhecemos as formas - as ideias platônicas - com a Matemática. Se isso acontece, as ideias tem em Platão a capacidade de gerar amor próprio, ou seja, à medida que você vai conhecendo uma ideia, vai querendo conhecer cada vez mais, com amor e com entrega.
Platão via que quando a Matemática apresentava isso, ela podia preparar quem quisesse entrar na vida política para legislar na pólis, porque essa pessoa conheceria as formas e, com acesso a esse conhecimento, perceberia que existe de fato a verdade e existem as essências. Essa pessoa se perguntaria: "Se existem essas verdades e essências nessa área do conhecimento, será que elas existem em outras?".
Apesar de nesse estágio não haver ainda em Platão uma disciplina como forma de fazer conhecimento, mais tarde será uma disciplina propriamente dita em Aristóteles. Platão se pergunta se não existira a capacidade de conhecer a verdade na estética, de conhecer o que é o belo, por exemplo; assim como se pergunta também por que não existiria a capacidade de se conhecer a verdade na moral, que era no que ele estava interessado.
Platão queria que o legislador, com a capacidade que as formas tem de gerar amor a elas próprias, se sentisse impelido a buscar o conceito de Bem e buscá-lo, e quando ele fosse legislar, aplicasse na medida do possível essas verdades imutáveis - porque o mundo sensível é uma sombra imperfeita das ideias perfeitas. Platão queria que ele aplicasse o máximo possível o conceito de Bem, que ele conheceu na Moral et., mas para a qual a Matemática o preparou.
É por isso então que ele recomenda o estudo da Matemática para qualquer um que fosse entrar na vida da pólis e que fosse legislar. Mais ainda, há uma anedota que diz que, na Academia de Platão, havia inscrita a famosa frase: "aqui não se aceitam pessoas que não saibam Geometria". Lembrem-se de que a Geometria naquela época era toda a Matemática.
Platão coloca a Matemática entre a teoria das ideias (que ele desenvolve) e o mundo sensível, porque ela tem esse entrelaçamento com outros desenvolvimentos da sua própria filosofia, e, à medida em que ele ia desenvolvendo sua filosofia, ele também desenvolvia a Matemática, pois Platão também a desenvolveu.
Aristóteles e a Fundação da Matemática
Um de seus alunos mais brilhantes, Aristóteles, assimila esse aprendizado ensinado por Platão, porque na Academia platônica se estudava Matemática dessa maneira que os pitagóricos a colocavam, como produção de conhecimento imaterial, e, analisando mais profundamente esse conhecimento, Aristóteles começa a fundamentar a Matemática. Por exemplo, ele nota que não existem fundamentos muito bem definidos e bem claros sobre o que se estuda na Geometria.
Ele passa a procurar por alguma qualificação, digamos assim, para esses fundamentos de que estamos partindo para chegar a esse conhecimento, mas parte do princípio de que é preciso estabelecer os fundamentos antes. E ele começa a fazer Filosofia assim. Ele percebe que na Matemática parte-se de algo, apesar de que para ele estava dúbio esse algo de que se partia, mas você partia desse algo, chegava no conhecimento imutável e necessário. Ele começa a incorporar dentro da sua própria Filosofia essa metodologia.
Quando Aristóteles tenta buscar os princípios primeiros - a sua Metafísica -, está exatamente imitando, fazendo um processo de mimésis do que ele aprende com a Matemática, porque à medida em que ele ia buscando esses axioma (vamos chamar assim) da Metafísica, esses princípios primeiros, que fundamentariam todas as áreas do conhecimento, ele também influenciou o ramo da Matemática a fazer isso com a própria Matemática. Há esse entrelaçamento também em Aristóteles, entre essas duas áreas.
Aristóteles escreve uma de suas obras mais importantes: Órganon, obra na qual está a lógica aristotélica, na qual Aristóteles desenvolve alguns silogismos, ensina como elaborar um raciocínio para dele chegar ao conhecimento, entre outras coisas.
Nos Elementos, de Euclides, que possui noções comuns, axiomas, proposições, etc., e é um conhecimento construído a partir dos princípios primeiros. Euclides chega a um conhecimento indubitável; o Órganon de Aristóteles possui estrutura muito similar: ele parte de bases estabelecidas e constrói através de uma teoria argumentativa, por assim dizer, um conhecimento semelhante ao conhecimento produzido pela Matemática.
Por exemplo, nessa obra, quando Aristóteles utiliza-se de uma argumentação ad absurdum (redução ao absurdo), ele parte da demonstração famosa, na qual se utiliza um argumento de redução ao absurdo, ou seja, partir da hipótese de que é racional e chegar ao absurdo, que contraria uma verdade já conhecida. Ele o faz para dar exemplo desse tipo de argumentação de que ele falava e que recomendava, para se chegar a um conhecimento. Ele dizia que às vezes era preciso usar esse tipo de argumentação.
Dessa forma, também em Aristóteles temos esse entrelaçamento entre Matemática e Filosofia. À medida em que Aristóteles vai fazendo filosofia, começa a influenciar os matemáticos na sua maneira de fazer Matemática, apesar de ele não ter entrado para a história como alguém que produziu muito conhecimento matemático, como Platão, que produziu, de fato, conhecimento matemático.
Hoje especula-se, entre os estudiosos, que ele produziu sim alguns teoremas, demonstrou algumas coisas e fez avançar o conhecimento matemático. Apesar disso, o fato é que Aristóteles influencia fortemente a maneira de se fazer Matemática e é também influenciado por ela.
Aristóteles via a Matemática de maneira diferente de Platão. Este via a Matemática como uma disciplina entre o mundo das ideias e o mundo sensível, que conduzia o estudante para a verdade e o preparava para o espírito filosófico para chegar no mundo das ideias. Aristóteles, por sua vez, desenvolve a teoria das dez categorias, que são categorias do ser, na qual há nove categorias acidentais e uma categoria da substância, que é o ente em si mesmo, que está diante de quem observa.
Essas noves categorias acidentais são as categorias que você predica acerca de um ente. Dentre elas, temos a primeira categoria acidental: a categoria da quantidade. Quanto falo de um ente, posso dizer, por exemplo, que esse ente pesa tantos quilos ou mede tantos metros (essa pessoa pesa 90kg, ou mede 1,70m, por exemplo). A Matemática em Aristóteles era a abstração da quantidade.
Mas o que entendemos por abstração, e o que Aristóteles entendia? Para ele, abstração era olhar para um ente sob um de seus aspectos. A sua mente ou intelecto abstrai aquele aspecto da realidade e esquece todos os outros. Quando olhamos para um ente a partir da categoria da quantidade, fazemos matemática, segundo Aristóteles. Ou seja, esquecemos todas as outras categorias, como a de qualidade, de lugar, etc., e apenas nos preocupamos com a quantidade. Isso é o processo abstrativo, tanto em Aristóteles quanto, em geral, na realidade.
Temos, além de tudo, a diferença entre o pensamento platônico acerca da Matemática, o pensamento pitagórico, e o pensamento aristotélico - todos eles, no entanto, entram na Matemática e na Filosofia da Matemática. Esses pensamentos fazem parte do que chamamos de realismo matemático, ou seja, todos eles viam esse conhecimento, que estava sendo produzido pela Matemática, como um conhecimento real. A diferença entre eles se dá onde estariam os objetos da Matemática.
Em Platão, eles são o intermediário entre o mundo das ideias e o mundo sensível. Em Aristóteles eles estão na própria realidade, já que é a abstração da categoria da realidade, que está no ente real. Isso influencia o sistema filosófico de ambos. Por sua vez, o projeto filosófico ocidental, na forma de buscar o conhecimento a partir da Filosofia platônico-aristotélica, possui essa carga matemática subjacente.
Como Euclides influenciou a História da Matemática
Ao mesmo tempo a Matemática vai se transformando de tal maneira que posteriormente Euclides condensa e faz a síntese desse desenvolvimento. Euclides produz mais impressões depois da Bíblia, que são Os Elementos. Ele é, portanto, a síntese do que estava acontecendo, mais especificamente a síntese da Matemática grega.
Euclides pega essa sugestão aristotélica e fundamenta os famosos postulados da Geometria euclidiana. Ou seja, os cinco postulados da Geometria euclidiana são colocados e formulados de uma maneira precisa por Euclides pela primeira vez, mas como sugestão aristotélica, ou seja, como aquilo que Aristóteles faz no Órganon, ele traz essa formulação para Matemática. Portanto, temos influência da própria filosofia na maneira como a Matemática entra para a história.
E Os Elementos de Euclides são um marco para a Matemática porque nessa obra há uma metodologia de se fazer Matemática, e é uma síntese de tudo o que estava sendo formulado até então. Em Os Elementos de Euclides a primeira coisa que encontramos são as noções comuns. Obviamente, se desejamos saber sobre o que estamos falando, precisamos reunir as noções que todos sabemos quais são. Por exemplo, o que é o ponto? Ele começa a definir: ponto é aquilo do qual nada faz parte. Da mesma forma, ele define o que é linha, e assim por diante.
Depois dessas noções comuns, você tem os famosos postulados, que são cinco. Postulado para Euclides é uma proposição, uma asserção escrita em que não se demonstra, mas parte-se dela. Por exemplo, um postulado da Geometria euclidiana é que por dois pontos distintos passa uma única reta. Se você pensar um pouco sobre isso, isso lhe parecerá uma verdade autoevidente acerca do plano e do espaço quando você os observa de uma maneira euclidiana. Você não demonstra isso, mas assume como verdade. Isso são os princípios primeiros, os postulados da Geometria, que em Os Elementos de Euclides são cinco. Dessa forma, temos nessa obra uma imitação dos princípios primeiros da Metafísica de Aristóteles.
Depois disso, começa-se a construção do conhecimento. Então, assumindo essas noções comuns, tendo as definições iniciais sobre o que é ponto, linha, etc., desses cinco postulados construímos o conhecimento. Da mesma forma que Pitágoras estava demonstrando seu teorema, que era, por sua vez, um conhecimento demonstrável, que se apresenta como imaterial, etc. Euclides sintetiza uma metodologia para se fazer isso. Claro, ele o faz a partir dessa influência de Platão e Aristóteles, mas a Matemática também influenciou a Filosofia deles.
Quando se demonstra os resultados da Geometria euclidiana, eles são indubitáveis. A partir de uma prova, na Matemática, você parte desses axiomas, desses postulados iniciais e, por raciocínio dedutivo, por uma inferência, chega em outro conhecimento, e isso se resumirá em um teorema, numa proposição, num lema, que será outra asserção, e essa asserção tem uma demonstração, uma prova. Isso está colocado em Os Elementos de Euclides e é algo que entra para a história como a grande contribuição da Matemática grega, que molda todo o pensamento ocidental acerca da Matemática. Portanto, toda a Matemática feita na Modernidade é uma imitação e aperfeiçoamento (em alguns momentos, aperfeiçoamento; em outros, imitação) do que Euclides desenvolveu em Os Elementos.
Não estou falando na Matemática moderna se fez cópia de Os Elementos, mas apenas que aquela metodologia de desenvolver uma prova matemática é transferida para esta disciplina e entra n história como um todo - explicarei um pouco mais sobre demonstração nas aulas posteriores.
Porém, mais importante que todos esses personagens envolvidos nessa história é que a Matemática tinha essa capacidade de produção de um conhecimento necessário e indubitável, sobre o qual ninguém poderia duvidar, pois uma vez que você entende uma demonstração ou prova, você não tem simplesmente a apreensão daquela proposição, mas uma espécie de visualização metafísica de uma verdade. É isso que esses filósofos viam na Matemática e está por trás de todos esses desenvolvimentos.
A Matemática nos Tempos Modernos
Até a Modernidade, até o surgimento do Nominalismo, todo mundo via a Matemática assim. Ou seja, a Matemática entrava na disciplina de preparação da alma para conduzir à verdade e preparar para o espírito filosófico.
À medida em que você olha para Matemática, o que é esse conhecimento que está sendo produzido? Como esse conhecimento se aplica à realidade? Por exemplo, nesse momento, você está utilizando uma tecnologia para ler este conteúdo sobre Matemática e Filosofia. Essa tecnologia foi possível graças a um desenvolvimento matemático, ou seja, de uma disciplina que tinha essa abstração, sobre a qual não se pensava como uma utilidade ou que tivesse uma aplicabilidade tão eficiente no mundo real. No entanto, ela está presente no nosso cotidiano a todo momento.
Isso quer dizer que os filósofos precisam responder à pergunta: como a matemática se aplica tão bem à realidade? O prêmio nobel Eugene Wigner, que é um físico, em determinada palestra acerca da relação entra a Física e a Matemática, diz que essa pergunta é um grande mistério. Einstein também dizia que a aplicação da Matemática no mundo real era um grande mistério. Como uma disciplina, que se apresenta de maneira tão abstrata, tem uma conexão tão forte com a realidade? Para responder a essa pergunta, é preciso o que chamamos de Filosofia da Matemática. Ou seja, você precisará de um sistema filosófico que possa olhar para a Matemática, perceber o que é esse conhecimento, responder a essa pergunta e encaixar a resposta dentro do seu conhecimento. À medida em que a Matemática avança, como aconteceu no caso de Kant, ela pode apresentar-se como um empecilho para o seu sistema. Você terá de mudar seu jeito de pensar a Filosofia e vice-versa.
A partir das filosofias da matemática existem duas grandes escolas que entraram para história, cujo debate se manteve entre elas, que são o Platonismo e o Nominalismo. Vimos que Platão buscava o mundo das ideias, das essências, a natureza das coisas, aquilo que define o que a coisa é, e ele via a Matemática como um intermediário entre o mundo sensível e o mundo das ideias. Ou seja, quando estamos falando de objeto matemático, ele é uma coisa que existe e é algo, mas é também uma essência.
O Nominalismo dirá que não. Enquanto ciências, estamos apenas utilizando nomes, por isso Nominalismo. Nomes são símbolos, são apenas nomes dados para uma estrutura comum que encontramos entre os entes. Esse conceito será “homem" ou “humanidade”, por exemplo. Portanto, é apenas um nome que estou dando para poder falar desses atributos comuns que eu encontro nos entes. Isso é nominalismo.
Na Matemática, quando se fala em Geometria euclidiana, ou do teorema de Pitágoras, por exemplo, estamos falando apenas do conceito de número, do conceito de número complexo, etc. Isso quer dizer que estamos tratando apenas de conceitos, do ponto de vista do Nominalismo. Se você está dentro do Nominalismo, esses conceitos são apenas nomes que a damos para identificar alguma estrutura comum.
No Platonismo é diferente, pois os entes da Matemática tem existência real. Quando falo de número, existe na realidade o número; quando eu falo de triângulo, existe na realidade do triângulo Essas duas correntes dominaram o cenário por muito tempo.
À medida em que o tempo foi avançando, outras escolas surgiram, mas quase todas elas como uma variação do Nominalismo. A primeira delas é o Intuicionismo. O Intuicionismo dirá que a Matemática é apenas probabilidade, ou seja, está intimamente conectada com a noção de prova. E, mais ainda, as provas precisam ser construídas dentro do Intuicionismo. Então, algumas demonstrações que existem na Matemática sobre a existência de algo não são aceitas pelos intuicionistas. Para eles, você precisa construir um objeto, não basta você mostrar que ele existe, tanto que eles negam a demonstração por absurdo, por exemplo.
Sendo assim, esse conhecimento matemático precisa ser construído para eles, mas eles não dão uma definição muito clara do que é probabilidade, do que é prova, do que é demonstração matemática. Como eles não deixam isso muito claro, isso acaba por ser um problema para eles.
Depois, teremos o Socioconstrutivismo. Essa corrente colocará que o conhecimento matemático é uma construção social. Desse ponto de vista, dois mais dois poderia ter resultado diferente, e poderíamos estar vivendo numa realidade orwelliana, como aparece na obra 1984 de Orwell. No Socioconstrutivismo não existe Verdade, apenas “verdades”.
Nele, a Matemática é uma grande ficção, uma construção social, e a capacidade que a Matemática tem que construir o conhecimento e uma ilusão. O que o socioconstrutivismo aponta é que a verdade não existe, mas é apenas uma construção social vinda do imperialismo europeu, vinda de uma visão ocidental, ou de qualquer outra coisa que queiram acusar.
Além destes, aparece também o Formalismo, que é reduzir a Matemática a símbolos manipuláveis, ou seja, a Matemática trata de símbolos que eu manipulo de acordo com algumas regras de inferência. Ou seja, temos símbolos que não tem referente algum. Notem como é uma versão nominalista da Matemática. Os dados matemáticos são signos, são símbolos que estão presentes, mas que não tem um referente real, não se refere a nada, eu apenas manipulo esses símbolos de acordo com um conjunto de regras de inferência. Esse é o Formalismo, que é muito próximo do Logicismo, mas não é exatamente ele. O Logicismo é uma visão que reduz a Matemática à Lógica. Mas na Lógica você tem um processo muito similar ao Formalismo, então é ela quase uma vertente do Formalismo.
Por último, está acontecendo uma reestruturação, um. movimento dentro da Filosofia da Matemática, falando do realismo aristotélico-agostiniano, que busca recobrar a visão de Aristóteles de que a Matemática trata do mundo real. Assim como a Biologia trata do mundo real, assim como a Física trata do mundo real, como a Metafísica está falando do mundo real, a Matemática também está, segundo esse ponto de vista. Não estamos falando de entes da razão, nem nada disso.
No realismo aristotélico só se trata do mundo real. E a matemática entra como a disciplina que estuda a quantidade e a estrutura. Aqui, mistura-se com a visão filosófica agostiniana, pois aqueles objetos matemáticos que não são estanciados da realidade estão na mente de Deus.
